在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△= )，通过穷举，逼近求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于 的方程 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注： 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知 、 为质数且是方程 的根，那么 的值是( )
A． B． C． D．
思路点拨 由韦达定理 、 的关系式，结合整数性质求出 、 、 的值．
【例3】 试确定一切有理数 ，使得关于 的方程 有根且只有整数根．
思路点拨 由于方 程的类型未确定，所以应分类 讨论．当 时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．
【例4】当 为整数时，关于 的方程 是否有有理根?如果有，求出 的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△= ( 为整数)解不定方程，讨论 的存在性．
注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△= 为完全平方数是方程的 根为有理数的充要条件．
【例5】 若关于 的方程 至少有一个整数根，求非负整数 的值．
思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的 的两个关系式中消去 也较困难，又因 的次数低于 的次数，故可将原方程变形为关于 的一次方程．
学历训练
1．已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数 有 ．
2．已知方程 有两个质数解，则m＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程 (a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程 (a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数 ；③无理数系数方程 (a≠0)的根只能是无理数；④若 、 、 均 为奇数，则方程 没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于 的一元二次方程 ( 为整数)的两个实数根是 、 ，则 = ．
5．设rn为整数，且4< m<40，方程 有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程 (a≠0)至少有一个整数根，求 的值．
7．求使关于 的方程 的根都是整数的 值．
8．当 为正 整数时，关于 的方程 的两根均为质数，试解此方程．
9．设关于 的二次方程 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数 的值．
10．试求所有这样的正整数 ，使得方程 至少有一个整数解．
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△= )，通过穷举，逼近求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于 的方程 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注： 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知 、 为质数且是方程 的根，那么 的值是( )
A． B． C． D．
思路点拨 由韦达定理 、 的关系式，结合整数性质求出 、 、 的值．
【例3】 试确定一切有理数 ，使得关于 的方程 有根且只有整数根．
思路点拨 由于方 程的类型未确定，所以应分类 讨论．当 时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．
【例4】当 为整数时，关于 的方程 是否有有理根?如果有，求出 的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△= ( 为整数)解不定方程，讨论 的存在性．
注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△= 为完全平方数是方程的 根为有理数的充要条件．
【例5】 若关于 的方程 至少有一个整数根，求非负整数 的值．
思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的 的两个关系式中消去 也较困难，又因 的次数低于 的次数，故可将原方程变形为关于 的一次方程．
学历训练
1．已知关于 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数 有 ．
2．已知方程 有两个质数解，则m＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程 (a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程 (a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数 ；③无理数系数方程 (a≠0)的根只能是无理数；④若 、 、 均 为奇数，则方程 没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于 的一元二次方程 ( 为整数)的两个实数根是 、 ，则 = ．
5．设rn为整数，且4< m<40，方程 有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程 (a≠0)至少有一个整数根，求 的值．
7．求使关于 的方程 的根都是整数的 值．
8．当 为正 整数时，关于 的方程 的两根均为质数，试解此方程．
9．设关于 的二次方程 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数 的值．
10．试求所有这样的正整数 ，使得方程 至少有一个整数解．
